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S
v ~T <->
~R, ~(Q
v P) -> T, ~Q |- P
v (R
v S)
1
(1) S v ~T <->
~R
A
2
(2) ~(Q v P) -> T
A
3
(3) ~Q
A
4
(4) ~(P v (R v S))
A [for RAA]
4
(5) ~P & ~(R v S)
4 DM
4
(6) ~(R v S)
5 &E
4
(7) ~R & ~S
6 DM
4
(8) ~R
7 &E
1,4
(9) S v ~T
1,8 BP
4
(10) ~S
7 &E
1,4
(11) ~T
9,10 vE
1,2
(12) Q v P
2,11 MTT
1,2,3
(13) P
3,12 vE
4
(14) ~P
5 &E
1,2,3 (15) P v (R v S) 13,14 RAA (4)
(P & Q) v (R & S) |- P v R
1 (1) (P & Q) v (R & S) A
2 (2) ~(P v R)
A [for RAA]
2 (3) ~P & ~R
2 DM
2 (4) ~P
3 &E
2 (5) ~P v ~Q
4 vI
2 (6) ~(P & Q)
5 DM
1,2 (7) R & S
1,6 vE
1,2 (8) R
7 &E
2 (9) ~R
3 &E
1 (10) P v R
8,9 RAA (2)
~(P -> Q), R v Q |- ~(P & R) -> S
1 (1) ~(P -> Q)
A
2 (2) R v Q
A
3 (3) ~(P & R)
A [for ->I]
3 (4) ~P v ~R
3 DM
1 (5) P & ~Q
1 Neg->
1 (6) P
5 &E
1,3 (7) ~R
4,6 vE
1,2,3(8) Q
2,7 vE
1 (9) ~Q
5 &E
10 (10) ~S
A [for RAA]
1,2,3(11) S
8,9 RAA (10)
1,2 (12) ~(P & R) -> S
11 ->I (3)
R v S -> Q, ~P -> ~R |- ~R v (P <-> Q)
1 (1) R v S -> Q
A
2 (2) ~P -> ~R
A
3 (3) ~(~R v (P <-> Q))
A
3 (4) R & ~(P <-> Q)
3 DM
3 (5) R
4 &E
3 (6) ~(P <-> Q)
4 &E
3 (7) P <-> ~Q
6 Neg<->
3 (8) R v S
5 vI
1,3 (9) Q
1,8 vE
2,3 (10) P
2,5 MTT
2,3 (11) ~Q
7,10 BP
1,2 (12) ~R v (P <-> Q)
9,11 RAA (3)